אלמנטים, הגדרת בונה, סטים מצטלבים, דיאגרמות Venn
סקירת סקירה
מתמטית, סט הוא אוסף או רשימה של אובייקטים.
הסטים אינם מורכבים ממספרים בלבד, אך יכולים להכיל כל דבר, כולל:
- את האוכל במקרר שלך;
- כוכבי הלכת במערכת השמש;
אף על פי קבוצות יכול להכיל משהו, הם מתייחסים לעתים קרובות מספרים התואמים דפוס או קשורים בדרך כלשהי כגון:
- קבוצה של מספרים חיוביים פחות מ 10: (0, 2, 4, 6, 8);
- קבוצה של גורמים עבור מספר 12: (1, 2, 3, 4, 6, 12).
הגדר את הכיתוב
האובייקטים בקבוצה נקראים אלמנטים והסימון או המוסכמות הבאים משמשים עם קבוצות:
- אותיות רישיות גדולות משמשות לזיהוי קבוצות - כגון J, E או F ;
- אותיות קטנות או מספרים משמשים עבור אלמנטים של קבוצה;
- סיכות מתולתלות {} מציינות רשימה של אלמנטים בקבוצה;
- פסיקים משמשים להפרדת אלמנטים קבועים.
לכן, דוגמאות של סימון מוגדר יהיה:
J = {יופיטר, סטורן, אורנוס, נפטון}
E = {0, 2, 4, 6, 8};
F = {1, 2, 3, 4, 6, 12};
סדר אלמנטים וחזרה
אלמנטים בקבוצה לא צריך להיות בכל סדר מסוים כך להגדיר י 'לעיל יכול גם להיות כתוב כמו:
J = {saturn, יופיטר, נפטון, uranus}
אוֹ
J = {נפטון, יופיטר, אורנוס, סטורן}
אלמנטים חוזרים אינם משנים את הסט, כך:
J = {יופיטר, סטורן, אורנוס, נפטון}
ו
J = {יופיטר, סטורן, אורנוס, נפטון, יופיטר, סטורן}
הם קבוצה זהה כי שניהם מכילים רק ארבעה אלמנטים שונים: יופיטר, סטורן, uranus, נפטון.
סטים ו אליפסות
אם יש מספר אינסופי - או בלתי מוגבל - של אלמנטים בקבוצה, האליפס (...) משמש להראות כי תבנית הסט ממשיכה לנצח בכיוון זה.
לדוגמה, קבוצה של מספרים טבעיים מתחיל באפס, אבל אין סוף, אז זה יכול להיות כתוב בצורה:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
עוד סדרה מיוחדת של מספרים שאין לה סוף היא קבוצה של מספרים שלמים. כיוון שמספרים שלמים יכולים להיות חיוביים או שליליים, המערכת משתמשת באליפסות בשני הקצוות כדי להראות שהמערכת ממשיכה לנצח בשני הכיוונים:
{ ... , -3, -2, -2, 0, 1, 2, 3, ... }
שימוש נוסף עבור אליפסות הוא למלא באמצע קבוצה גדולה כגון:
{0, 2, 4, 6, 8, ..., 94, 96, 98, 100}
האליפסות מראה שהתבנית - אפילו המספרים - ממשיכה דרך הקטע הלא-כתוב של הסט.
סטים מיוחדים
קבוצות מיוחדות המשמשות לעתים קרובות מזוהות באמצעות אותיות או סמלים ספציפיים. אלו כוללים:
- Ø או {} - הסט ריק - סט ללא אלמנטים ;
- U - הסט האוניברסלי - סט המכיל את כל האלמנטים ביחס להגדרת קבוצה מסוימת ;
- Z - הסט של כל המספרים השלמים: Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... };
- N - מספרים טבעיים (מספרים שלמים וחיוביים): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }.
תרנגול לעומת שיטות תיאוריות
כתיבה או רישום של אלמנטים של קבוצה, כגון קבוצה של כוכבי הלכת הפנימיים או הארציים במערכת השמש שלנו, מכונה סיווג סגל או שיטת הסגל .
T = {כספית, ונוס, כדור הארץ, מאדים}
אפשרות נוספת לזיהוי האלמנטים של קבוצה היא שימוש בשיטה תיאורי, אשר משתמש בהצהרה קצרה או שם לתאר את ערכת כגון:
T = {כוכבי הלכת}
הגדרת בונה
חלופה לסגל ולשיטות תיאוריות היא להשתמש בסימון הקבלן , שהוא שיטת קצרנות המתארת את הכלל שאליו מרכיבים האלמנטים (הכלל שהופך אותם לחברים מסוימים) .
הגדרת בונה קבוצה עבור קבוצה של מספרים טבעיים גדול מאפס הוא:
{x | x ∈ N, x > 0 }
אוֹ
{x: x ∈ N, x > 0 }
בסימון הקבלן, האות "x" היא משתנה או מציין מיקום, שניתן להחליפו באות אחרת.
דמויות קצרנות
תווים קצרניים המשמשים עם הגדרת בונה קבוצה כוללים:
- הבר האנכי או המעי הגס (או : תווים) - הם מפרידים לקרוא כך;
- אפסילון קטן ( ∈ אופי) - נקרא כמו אלמנט של;
- התו - - נקרא לא אלמנט של.
אז, {x | x ∈ N, x > 0 } יהיה כך:
"קבוצה של כל x , כך x הוא אלמנט של קבוצה של מספרים טבעיים x גדול מ 0."
סטים ודיאגרמות Venn
תרשים Venn - המכונה לעתים תרשים מוגדר - משמש להראות יחסים בין האלמנטים של קבוצות שונות.
בתמונה לעיל, החלק החופף של תרשים Venn מראה את הצומת של קבוצות E ו- F (אלמנטים משותפים לשני הסטים).
להלן רשימה של הגדרת בונה קבוצה עבור הפעולה (הפוך "U" פירושו צומת):
E ∩ F = {x | x ∈ E , x ∈ F}
הגבול המלבני והמכתב U שבפינת דיאגרמת ון מייצגים את המערכת האוניברסלית של כל האלמנטים הנמצאים בחשבון לפעולה זו:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}